原码、反码和补码

原码、反码和补码是很重要的入门内容，以下是一些学习的笔记。

为什么要有"机器数"

我们平时写的是带正负号的十进制数，但硬件里只有 0/1，所以符号也得用 0/1 来编码。把带符号的真值（如 +5、−5）变成能在机器里存储的一串 0/1，就是机器数。历史上出现过三种主要编码：原码、反码、补码。

下面统一讨论 n 位二进制：最高位是符号位（0 代表正、1 代表负），低 $n-1$ 位是数值位。

一、原码（Sign–Magnitude）

定义最简单直观：

正数：符号位 0 + 真值的绝对值二进制；
负数：符号位 1 + 真值的绝对值二进制。

写成式子就是：

[x]_\text{原} = \begin{cases} 0|x|, & x \ge 0 \\ 1|x|, & x < 0 \end{cases}

例子（8 位）：+5 → 0000 0101；−5 → 1000 0101

原码的优点是直观，看符号位就知道正负、读真值容易。缺点是：

0 有两种表示：+0 = 0000 0000，−0 = 1000 0000，判断是否为零要额外处理；
做加减法得先比较符号，再决定是加还是减、谁减谁，符号位不能直接参与运算，电路很麻烦。

于是有了反码，再到补码。

二、反码（Ones’ Complement）

定义：

正数：反码 = 原码（符号位 0，数值位照抄）；
负数：符号位保持 1，数值位逐位取反（0↔1）。

所以反码又叫"对 1 取补"，负数反码满足：

[x]_\text{反} = (2^n - 1) - |x|

例子（8 位）：−5 的原码是 1000 0101，数值位取反 → 1111 1010。

反码的运算有两个麻烦：减法虽能转成加法，但最高位的端进位（end-around carry）要绕回最低位再加一次；而且 0 仍然有两种表示（+0 = 0000 0000，−0 = 1111 1111）。

三、补码（Two’s Complement）——重点

定义：

正数：补码 = 原码 = 反码；
负数：在反码基础上 +1；等价地 $[x]_\text{补} = 2^n - |x|$ 。

统一写成对模 $2^n$ 取余：

[x]_\text{补} = (2^n + x) \bmod 2^n, \qquad -2^{n-1} \le x < 2^{n-1}

例子（8 位）求 −5 的补码：

$|{-5}| = 5 = 0000\,0101$
取反 → 1111 1010（这就是反码）
+1 → 1111 1011

为什么补码能把减法变成加法？

n 位机器数其实是在模 $2^n$ 下计数的：加了 $2^n$ 溢出丢掉的进位，等价于没加。对负数有：

[x]_\text{补} = 2^n - |x|

于是 $a - b$ （ $b>0$ ）可以这样变形：

a - b = \bigl(a + (2^n - b)\bigr) \bmod 2^n

右边第二项 $(2^n - b)$ 正是 $[-b]_\text{补}$ 。也就是说：减一个数 = 加上它的补码，硬件里只要有一个加法器就够了——这是补码最大的价值。

顺带验证一下"负数取反加一就是补码"：把 n 位 $b$ 逐位取反得到 $2^n-1-b$ ，再 +1 得 $2^n-b$ ，成立 ✓

补码的优点

0 唯一：+0 与 −0 的补码都是 0000 0000；
符号位直接参与运算，无需判断正负、无需比较大小；
范围多一个负数：能表示 $-2^{n-1}$ ，而原码/反码最小只到 $-(2^{n-1}-1)$ 。

数值范围对比（以 8 位为例）

编码	表示范围	0 的表示
原码	−127 ~ +127	+0、−0 两种
反码	−127 ~ +127	+0、−0 两种
补码	−128 ~ +127	唯一（`0000 0000`）

8 位补码的最小值 1000 0000 = −128 很特殊：符号位为 1 且数值位全 0，它占用的是原码里"−0"那个闲置位置，表示 $-2^7$ 。对它做"取反加一"得到的仍是它自己，所以没有对应的正数 +128。

四、三种编码速查表（8 位）

真值	原码	反码	补码
+5	`0000 0101`	`0000 0101`	`0000 0101`
−5	`1000 0101`	`1111 1010`	`1111 1011`
+0	`0000 0000`	`0000 0000`	`0000 0000`
−0	`1000 0000`	`1111 1111`	（与 +0 相同）
−127	`1111 1111`	`1000 0000`	`1000 0001`
−128	不可表示	不可表示	`1000 0000`

快速互转口诀（只对负数生效，正数三种码一样）：

原码 ↔ 反码：数值位取反 / 再取反；
反码 ↔ 补码：+1 / −1；
求任意数的相反数：补码按位取反再加 1。

五、由补码读真值

两种方法任选：

取反加一：符号位为 1 → 数值位取反 +1 得到绝对值，再添上负号。
- 例：1111 1011 → 取反 0000 0100 → +1 = 0000 0101 = 5 → 真值 −5 ✓
按权展开（推荐，更快）：最高位的权当作 $-2^{n-1}$ $- 2^{n - 1}$ ，其余位照常取正权。
- 例：4 位 1101 = $-2^3 + 2^2 + 0 + 2^0 = -8 + 4 + 1 = -3$
- 例：8 位 1000 0000 = $-128$ ，一眼看出。

六、补码加减法举例（8 位）

例 1：5 − 3

5 + (-3) = 0000\,0101 + 1111\,1101 = 1\,0000\,0010

丢掉最高位的进位 → 0000 0010 = 2 ✓（在模 $2^8$ 下这个进位本来就该丢，不算错）

例 2：−5 + 6

1111\,1011 + 0000\,0110 = 1\,0000\,0001 \ \longrightarrow\ 0000\,0001 = 1 \ \checkmark

七、溢出判断（Overflow）

直观理解：两个同号数相加，结果的符号却与加数相反，就溢出了。因为减法本质是加补码，所以被减数与减数异号时也要留意。

电路上最可靠的判据是：进位到符号位的进位 $c_\text{in}$ 与符号位产生的进位 $c_\text{out}$ 不同，即溢出（等价于双符号位法）：

V = c_\text{in} \oplus c_\text{out}

溢出例子（8 位补码）：

$120 + 10$ ： $0111\,1000 + 0000\,1010 = 1000\,0010$ （=−126），两个正数加出负数 → 溢出；
$-120 + (-10)$ ： $1000\,1000 + 1111\,0110 = 1\,0111\,1110 \to 0111\,1110$ （=+126），两个负数加出正数 → 溢出。

反例（未溢出）： $-120 + 30 = 1000\,1000 + 0001\,1110 = 1010\,0110$ （=−90）✓

注意区分：最高位那个被丢掉的进位 1 不是错误（模 $2^n$ 计数本来就该丢）；只有结果符号不对（超出可表示范围）才是溢出。

八、扩展与截断

符号扩展（sign extension）：把补码从窄位宽变宽时，高位一律补符号位。
- 例：8 位 −5 = 1111 1011 → 16 位 1111 1111 1111 1011，数值不变。
零扩展：仅用于无符号数（或直接把高位置 0），不要把无符号数和补码混用。
截断：直接砍掉高位。若被砍掉的部分等于"用符号位补齐"的那一串（即原数能装进低位），数值不变；否则说明超范围，会出错。
- 例：16 位 −5 = 1111...1111 1011 截成 8 位 1111 1011，仍是 −5 ✓

九、数字电路里怎么做减法？

有了补码，加减法可以共用同一个加法器。要算 $A - B$ ，只需送 $A$ 和 $\overline{B}$ ，并让加法器最低位的进位输入为 1：

A - B = A + \overline{B} + 1

硬件上用一个控制信号 Sub（做减法时为 1）：

每一位的 $B$ 先经过一个异或门取反： $B \oplus Sub$ ；
Sub 同时接到加法器最低位的进位输入 Cin；
Sub = 0 时做加法，Sub = 1 时做减法。

加法器会额外输出标志位：Carry（最高位进位）、Overflow（ $c_\text{in} \oplus c_\text{out}$ ）、Zero、Negative。现代 CPU / ALU 的加减法基本都是这个思路——这也是补码在硬件里真正"好用"的原因。

小结

一句话记住三者：

原码：看真值最直观，但有 ±0、减法麻烦；
反码：负数取反，能"减转加"，却有循环进位和 ±0；
补码 = 反码 + 1：0 唯一、符号位直接参与运算、范围多一个 $-2^{n-1}$ 、加减法统一成加法——机器真正使用的就是补码。